Primzahl

Dieser Rechner hilft, zu überprüfen — ob die angegebene Zahl eine Primzahl ist. Interaktive Tabelle kleiner und großer Primzahlen.

Definition: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl (>0), die nicht mehr als zwei verschiedene Teiler hat: 1 und die Zahl selbst.
Natürliche Zahlen, außer der 1, die keine Primzahlen sind, werden als zusammengesetzt bezeichnet.
Eins ist weder eine Primzahl noch eine zusammengesetzte Zahl.
Beispiele für Primzahlen: 3, 5, 7, 11, 17
Nehmen wir zum Beispiel die Zahl 3. 3 ist ohne Rest nur durch 1 und sich selbst teilbar, daher ist die Zahl 3 eine Primzahl.

Es gibt unendlich viele Primzahlen. Der älteste bekannte Beweis dieser Tatsache wurde von Euklid in «Elemente» (Buch IX, Proposition 20). Sein Beweis kann kurz wie folgt wiedergegeben werden:

Angenommen, die Anzahl der Primzahlen ist endlich. Wir multiplizieren sie und addieren eins. Die resultierende Zahl ist durch keine der endlichen Menge von Primzahlen teilbar, da der Rest der Division durch eine von ihnen eins ergibt. Daher muss die Zahl durch eine Primzahl teilbar sein, die nicht in dieser Menge enthalten ist. Widerspruch.

Gegenseitig schlugen Mathematiker andere Beweise vor. Einer von ihnen (vorgelegt von Euler) zeigt, dass die Summe der Kehrwerte der ersten n Primzahlen unbegrenzt wächst mit der Zunahme n.