Altura del Triángulo Isósceles
Un triángulo isósceles se llama un triángulo donde dos de los tres lados son iguales entre sí. Los lados iguales se consideran los lados laterales a, y el tercer lado b se denomina base del triángulo isósceles.
En consecuencia, en tal triángulo, puedes trazar tres alturas, dos de las cuales serán iguales entre sí, similares a los lados - estas son las alturas trazadas al lado lateral del triángulo a, y la tercera altura se traza a la base. La altura del triángulo se traza desde el ángulo del triángulo hasta el lado opuesto en un ángulo recto. La mayoría de los problemas con la altura de un triángulo se resuelven a través de los triángulos rectángulos que forma.
Consideremos cada caso por separado.
La altura de un triángulo isósceles, trazada a la base, tiene una serie de propiedades individuales únicas y no aplicables a otras alturas en tal triángulo. En particular, la altura trazada a la base del triángulo isósceles coincide con la mediana y bisectriz, trazada a la base, por lo tanto, no solo forma un ángulo recto con la base, sino que también la divide en dos partes iguales, como una mediana, y de manera similar divide el ángulo por la mitad, como una bisectriz. Como resultado, la altura es una especie de eje de simetría del triángulo y lo divide en dos triángulos rectángulos congruentes. En tal triángulo, la altura es un cateto, y para encontrar su longitud, es necesario relacionar los lados del triángulo isósceles con los lados del triángulo rectángulo. El lado lateral del triángulo isósceles se convierte en la hipotenusa, y para determinar el segundo cateto, la base del triángulo isósceles debe dividirse por la mitad, por la propiedad de la mediana.
La longitud de la altura de un triángulo isósceles es igual por teorema de Pitágoras a la raíz cuadrada de la suma del cuadrado del lado lateral del triángulo isósceles y un cuarto del cuadrado de la base del triángulo isósceles:
El segundo caso, cuando las condiciones del problema requieren encontrar la altura trazada al lado lateral del triángulo isósceles, se revela más simplemente a través del área del triángulo.
El área de cualquier triángulo se puede encontrar de varias maneras - por ejemplo, a través de los tres lados del triángulo usando la fórmula de Herón, o a través de la altura, multiplicándola por la mitad del lado al que se traza. Ambos métodos producen valores de área idénticos, por lo que ambas fórmulas pueden igualarse y de ahí derivar la fórmula final para la altura trazada al lado lateral del triángulo isósceles.
La fórmula de Herón para un triángulo isósceles tendrá una forma algo simplificada debido a la repetición de los valores de los lados laterales:
Área del Triángulo Isósceles a través de la altura trazada al lado lateral
La misma fórmula se puede usar para encontrar cualquier altura en un triángulo isósceles si se intercambian los lados correspondientes en la fórmula.
Fórmula de la altura de un triángulo isósceles a través del lado lateral y ángulo en la base α: h=a sinα
Fórmula a través del lado lateral y ángulo opuesto a la base β:
Fórmula a través de la base y ángulo en ella α:
a través de la base y ángulo opuesto a ella β:
