Теорема на Питагор

Теоремата на Питагор е фундаментална връзка в евклидовата геометрия, върху която се основава голяма част от всички следствия и други теореми, произтичащи от теоремата на Питагор. Тя е изведена през VI век преди нашата ера, и теоремата свързва страните на правоъгълен триъгълник с просто уравнение, и има много доказателства, едно от които комбинира както алгебра, така и геометрия.

Според теоремата на Питагор, в правоъгълен триъгълник има катети a и b – това са страните, прилежащи към правия ъгъл, и сумата от техните квадрати дава квадрата на хипотенузата – третата страна на триъгълника, противоположна на правия ъгъл.

Това може да се докаже чрез изграждане на четири правоъгълни триъгълника, така че дългият катет на всеки от тях да е краткият катет на следващия триъгълник, с върховете на ъглите съвпадащи.

Както се вижда от чертежа, общата фигура представлява квадрат със страна c, едновременно представляваща хипотенузата на тези триъгълници, и площта на тази фигура е равна на c², според формулата за площ на квадрат. Освен този квадрат, тя включва четири правоъгълни триъгълника с площ , в центъра на него има друг малък квадрат. Страната на малкия квадрат е равна на разликата на катетите, следователно, площта му ще бъде равна на квадрата на тази разлика. (a-b)²=a²-2ab+b²

Нека представим площта на големия квадрат като сумата от площите на малкия квадрат и четири триъгълника според принципа на суперпозиция.

Така площта на квадрата е едновременно равна на квадрата на хипотенузата и сумата от квадратите на катетите, което трябваше да се докаже. a²+b²=c²