Pythagoras sætning

Pythagoras sætning er en grundlæggende forbindelse i euklidisk geometri, hvorpå en stor del af alle følger og andre sætninger, der er afledt af Pythagoras sætning, er baseret. Den blev afledt i VI århundrede f.Kr., sætningen relaterer siderne af en retvinklet trekant med en simpel ligning, og den har mange beviser, hvoraf et kombinerer både algebra og geometri.

Ifølge Pythagoras sætning er der i en retvinklet trekant kateter a og b – disse er siderne, der støder op til den rette vinkel, og summen af deres kvadrater giver kvadratet af hypotenusen – den tredje side af trekanten, modsat den rette vinkel.

Dette kan bevises ved at konstruere fire retvinklede trekanter, så den lange katet af hver af dem er den korte katet af den næste trekant, med vinklernes toppe, der falder sammen.

Som det kan ses af tegningen, repræsenterer den samlede figur et kvadrat med en side c, samtidig med at det er hypotenusen af disse trekanter, og arealet af denne figur er lig med c², ifølge formlen for arealet af et kvadrat. Ud over dette kvadrat inkluderer det fire retvinklede trekanter med et areal på , i midten af det er der et andet lille kvadrat. Siden af det lille kvadrat er lig med forskellen på kateterne, derfor vil arealet være lig med kvadratet af denne forskel. (a-b)²=a²-2ab+b²

Lad os repræsentere arealet af det store kvadrat som summen af arealerne af det lille kvadrat og fire trekanter i henhold til princippet om superposition.

Således er arealet af kvadratet samtidig lig med hypotenusens kvadrat og summen af kvadraterne af kateterne, hvilket skulle bevises. a²+b²=c²