Πρώτος Αριθμός

Αυτός ο υπολογιστής θα βοηθήσει να ελέγξετε — αν ο δεδομένος αριθμός είναι πρώτος. Διαδραστικός πίνακας μικρών και μεγάλων πρώτων αριθμών.

Ορισμός: Ένας πρώτος αριθμός είναι ένας φυσικός αριθμός (>0), ο οποίος έχει το πολύ δύο διακριτούς διαιρέτες: το 1 και τον ίδιο τον αριθμό.
Οι φυσικοί αριθμοί, εκτός από το 1, που δεν είναι πρώτοι αριθμοί ονομάζονται σύνθετοι.
Η μονάδα δεν είναι ούτε πρώτος αριθμός ούτε σύνθετος.
Παραδείγματα πρώτων αριθμών: 3, 5, 7, 11, 17
Ας πάρουμε, για παράδειγμα, τον αριθμό 3. Το 3 διαιρείται, χωρίς υπόλοιπο, μόνο από το 1 και τον εαυτό του, συνεπώς ο αριθμός 3 είναι πρώτος αριθμός.

Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί. Η παλαιότερη γνωστή απόδειξη αυτού του γεγονότος δόθηκε από τον Ευκλείδη στα «Στοιχεία» (βιβλίο IX, πρόταση 20). Η απόδειξή του μπορεί να αναπαραχθεί σύντομα ως εξής:

Ας υποθέσουμε ότι ο αριθμός των πρώτων αριθμών είναι πεπερασμένος. Τους πολλαπλασιάζουμε και προσθέτουμε ένα. Ο προκύπτων αριθμός δεν διαιρείται από κανέναν από το πεπερασμένο σύνολο των πρώτων αριθμών, επειδή το υπόλοιπο της διαίρεσης από οποιονδήποτε από αυτούς δίνει ένα. Επομένως, ο αριθμός πρέπει να διαιρείται από κάποιον πρώτο αριθμό που δεν περιλαμβάνεται σε αυτό το σύνολο. Αντίφαση.

Αμοιβαία, οι μαθηματικοί πρότειναν άλλες αποδείξεις. Μία από αυτές (παρουσιάστηκε από τον Όιλερ) δείχνει ότι το άθροισμα των αντιστρόφων των πρώτων n αριθμών αυξάνεται απεριόριστα με την αύξηση n.