Γραμμικές ανισότητες

Οι εκφράσεις που περιέχουν μεταβλητές συνδεδεμένες με σημεία ονομάζονται ανισότητες:
«μεγαλύτερο από» (>);
«μεγαλύτερο ή ίσο με» (≥);
«μικρότερο από» (<);
μικρότερο ή ίσο με (≤).

Γραμμικές ανισότητες με μία μεταβλητή x περιγράφονται από εκφράσεις του τύπου:
xy + z > 0
xy + z < 0
xy + z ≥ 0
xy + z ≤ 0
σε αυτή την περίπτωση y δεν είναι ίσο με μηδέν.

Χαρακτηριστικά των γραμμικών ανισοτήτων: περιέχουν τη μεταβλητή μόνο στο πρώτο βαθμό; δεν πραγματοποιείται διαίρεση με τη μεταβλητή; δεν πραγματοποιείται πολλαπλασιασμός της μεταβλητής με το 0.

Να λύσετε μια ανισότητα σημαίνει να βρείτε όλες τις πιθανές τιμές της μεταβλητής που περιέχει, ή να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν.

Τρεις κανόνες για την επίλυση γραμμικών ανισοτήτων

Όταν μετακινούνται όροι από το ένα μέρος στο άλλο, οι αρνητικές τιμές γίνονται θετικές, και αντίστροφα. Το σημείο της ανισότητας παραμένει.
x – y > z => x – z > y => x > z + y
για παράδειγμα:
x – 9 > 3 => x > 3 + 9 => x > 12

Όταν πολλαπλασιάζονται ή διαιρούνται και τα δύο μέρη με τον ίδιο θετικό αριθμό, η ανισότητα παραμένει έγκυρη και το σημείο της δεν αλλάζει.
x < z => yx < yz => x/y < z/y
για παράδειγμα:
10x > 20 => x > 2
0,5x < 3 => x < 6

Αν ο πολλαπλασιαστικός παράγοντας (διαιρέτης) είναι αρνητικός, το σημείο της ανισότητας πρέπει να αντικατασταθεί με το αντίθετο.
x < z => -yx > -yz => -x/y > -z/y
Για παράδειγμα:
9 > 3 => -9 < -3 => -3 < -1

Η ικανότητα να λύνετε γραμμικές ανισότητες θα σας φανεί χρήσιμη στη μετέπειτα μελέτη και έρευνα συναρτήσεων. Είναι απαραίτητες για:
• εύρεση της μέγιστης και ελάχιστης τιμής μιας συνάρτησης σε ένα συγκεκριμένο διάστημα;
• καθορισμό διαστημάτων αύξησης και μείωσης μιας συνάρτησης;
• καθορισμό του περιορισμού των συναρτήσεων.