Pythagoraan lause

Pythagoraan lause on keskeinen linkki euklidisessa geometriassa, johon suuri osa kaikista seurauksista ja muista Pythagoraan lauseesta johdetuista teoreemoista perustuu. Se johdettiin VI vuosisadalla eaa., lause liittyy suorakulmaisen kolmion sivuihin yksinkertaisella yhtälöllä, ja sillä on monia todisteita, joista yksi yhdistää sekä algebran että geometrian.

Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisessa kolmiossa on kantat a ja b – nämä ovat oikeaan kulmaan vierekkäisiä sivuja, ja niiden neliöiden summa antaa hypotenuusan neliön – kolmion kolmas sivu, vastapäätä oikeaa kulmaa.

Tämä voidaan todistaa rakentamalla neljä suorakulmaista kolmiota siten, että kunkin niistä pitkä kantta on seuraavan kolmion lyhyt kantta, kulmien kärkipisteet yhtyvät.

Kuten piirroksesta voidaan nähdä, kokonaiskuvio edustaa neliötä, jonka sivu on c, samalla ollen näiden kolmioiden hypotenuusa, ja tämän kuvion pinta-ala on yhtä suuri kuin c², neliön pinta-alan kaavan mukaan. Tämän neliön lisäksi se sisältää neljä suorakulmaista kolmiota, joiden pinta-ala on , sen keskellä on toinen pieni neliö. Pienen neliön sivu on kanttien ero, joten sen pinta-ala on yhtä suuri kuin tämän erotuksen neliö. (a-b)²=a²-2ab+b²

Esitellään suuren neliön pinta-ala pienen neliön ja neljän kolmion pinta-alojen summana superpositioperiaatteen mukaan.

Näin ollen neliön pinta-ala on samanaikaisesti yhtä suuri kuin hypotenuusan neliö ja kanttien neliöiden summa, mikä oli tarkoitus todistaa. a²+b²=c²