Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa jest fundamentalnym ogniwem geometrii euklidesowej, na którym opiera się wiele konsekwencji i innych twierdzeń pochodzących z Twierdzenia Pitagorasa. Zostało ono wyprowadzone w VI wieku p.n.e., twierdzenie odnosi się do boków trójkąta prostokątnego za pomocą prostego równania i ma wiele dowodów, z których jeden łączy zarówno algebrę, jak i geometrię.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, w trójkącie prostokątnym są przyprostokątne a i b – to boki przylegające do kąta prostego, a suma ich kwadratów daje kwadrat przeciwprostokątnej – trzeci bok trójkąta, naprzeciw kąta prostego.

To można udowodnić, konstruując cztery trójkąty prostokątne w taki sposób, że dłuższa przyprostokątna każdego z nich jest krótszą przyprostokątną kolejnego trójkąta, a wierzchołki kątów pokrywają się.

Jak widać z rysunku, cała figura reprezentuje kwadrat o boku c, jednocześnie będący przeciwprostokątną tych trójkątów, a pole tej figury jest równe c², zgodnie ze wzorem na pole kwadratu. Oprócz tego kwadratu zawiera cztery trójkąty prostokątne o polu , w jego centrum znajduje się jeszcze jeden mały kwadrat. Bok małego kwadratu jest równy różnicy przyprostokątnych, więc jego pole będzie równe kwadratowi tej różnicy. (a-b)²=a²-2ab+b²

Przedstawmy pole dużego kwadratu jako sumę pól małego kwadratu i czterech trójkątów zgodnie z zasadą superpozycji.

W ten sposób pole kwadratu jest jednocześnie równe kwadratowi przeciwprostokątnej i sumie kwadratów przyprostokątnych, co należało udowodnić. a²+b²=c²