Pitagorov izrek

Pitagorov izrek je temeljna povezava v evklidski geometriji, na kateri temelji velik del vseh posledic in drugih izrekov, izpeljanih iz Pitagorovega izreka. Izpeljan je bil v VI stoletju pr. n. št., izrek povezuje stranice pravokotnega trikotnika s preprosto enačbo, in ima veliko dokazov, eden od njih združuje tako algebro kot geometrijo.

Po Pitagorovem izreku, v pravokotnem trikotniku, so kateti a in b – to so stranice, ki mejijo na pravi kot, in vsota njihovih kvadratov daje kvadrat hipotenuze – tretje stranice trikotnika, nasproti pravega kota.

To je mogoče dokazati z gradnjo štirih pravokotnih trikotnikov tako, da je dolga kateta vsakega od njih kratka kateta naslednjega trikotnika, z vrhovi kotov, ki sovpadajo.

Kot je razvidno iz risbe, celotna figura predstavlja kvadrat s stranico c, hkrati pa je hipotenuza teh trikotnikov, in površina te figure je enaka c², po formuli za površino kvadrata. Poleg tega kvadrata vključuje štiri pravokotne trikotnike s površino , v središču njega je še en majhen kvadrat. Stranica majhnega kvadrata je enaka razliki katet, zato bo njegova površina enaka kvadratu te razlike. (a-b)²=a²-2ab+b²

Predstavimo površino velikega kvadrata kot vsoto površin majhnega kvadrata in štirih trikotnikov po načelu superpozicije.

Tako je površina kvadrata hkrati enaka kvadratu hipotenuze in vsoti kvadratov katet, kar je bilo treba dokazati. a²+b²=c²