Pitagorina teorema

Pitagorina teorema je osnovna veza u Euklidskoj geometriji, na kojoj se zasniva veliki deo svih posledica i drugih teorema izvedenih iz Pitagorine teoreme. Izvedena je u VI veku pre naše ere, teorema povezuje stranice pravouglog trougla jednostavnom jednačinom, i ima mnogo dokaza, jedan od kojih kombinuje i algebru i geometriju.

Prema Pitagorinoj teoremi, u pravouglom trouglu postoje katete a i b – to su stranice koje su susedne pravom uglu, a zbir njihovih kvadrata daje kvadrat hipotenuze – treće strane trougla, nasuprot pravom uglu.

Ovo se može dokazati konstruisanjem četiri pravougla trougla tako da je duga kateta svakog od njih kratka kateta sledećeg trougla, sa vrhovima uglova koji se podudaraju.

Kao što se vidi iz crteža, celokupna figura predstavlja kvadrat sa stranicom c, istovremeno hipotenuzom ovih trouglova, i površina ove figure je jednaka c², prema formuli za površinu kvadrata. Pored ovog kvadrata, uključuje četiri pravougla trougla sa površinom od , u centru se nalazi još jedan mali kvadrat. Stranica malog kvadrata jednaka je razlici kateta, stoga će njegova površina biti jednaka kvadratu te razlike. (a-b)²=a²-2ab+b²

Predstavimo površinu velikog kvadrata kao zbir površina malog kvadrata i četiri trougla prema principu superpozicije.

Tako je površina kvadrata istovremeno jednaka kvadratu hipotenuze i zbiru kvadrata kateta, što je trebalo dokazati. a²+b²=c²