Височина на равнобедрен триъгълник

Равнобедрен триъгълник се нарича триъгълник, където две от трите страни са равни една на друга. Равните страни се считат за странични страни a, а третата страна b се нарича основа на равнобедрения триъгълник.

Съответно, в такъв триъгълник можете да начертаете три височини, две от които ще бъдат равни една на друга, подобно на страните - това са височините, спуснати към страничната страна на триъгълника a, и третата височина е спусната към основата. Височината на триъгълника е начертана от ъгъла на триъгълника към противоположната страна под прав ъгъл. Повечето задачи с височината на триъгълник се решават чрез правоъгълните триъгълници, които тя образува.

Нека разгледаме всеки случай поотделно.

Височината на равнобедрен триъгълник, спусната към основата, има редица индивидуални свойства, уникални за нея и неприложими за другите височини в такъв триъгълник. По-специално, височината, начертана към основата на равнобедрения триъгълник, съвпада с медианата и бисектрисата, начертана към основата, затова тя не само образува прав ъгъл с основата, но и я разделя на две равни части, като медиана, и подобно разделя ъгъла на половина, като бисектриса. В резултат, височината е вид ос на симетрия на триъгълника и я разделя на два конгруентни правоъгълни триъгълника. В такъв триъгълник, височината е катет, и за да се намери нейната дължина, е необходимо да се свържат страните на равнобедрения триъгълник със страните на правоъгълния триъгълник. Страничната страна на равнобедрения триъгълник става хипотенуза, и за да се определи втория катет, основата на равнобедрения триъгълник трябва да се раздели на половина, по свойството на медианата.

Дължината на височината на равнобедрен триъгълник е равна по Теорема на Питагор на квадратния корен от сумата на квадрата на страничната страна на равнобедрения триъгълник и една четвърт от квадрата на основата на равнобедрения триъгълник:

Вторият случай, когато условията на задачата изискват намирането на височината, спусната към страничната страна на равнобедрения триъгълник, се разкрива най-просто чрез площта на триъгълника.

Площта на всеки триъгълник може да бъде намерена по няколко начина - например, чрез трите страни на триъгълника, използвайки Формулата на Херон, или чрез височината, умножавайки я по половината от страната, към която е спусната. И двата метода дават идентични стойности за площта, така че и двете формули могат да бъдат приравнени и оттам да се изведе крайната формула за височината, спусната към страничната страна на равнобедрения триъгълник.

Формулата на Херон за равнобедрен триъгълник ще има някаква опростена форма поради повторението на стойностите на страничните страни:

Площ на равнобедрен триъгълник чрез височината, спусната към страничната страна

Същата формула може да се използва за намиране на всяка височина в равнобедрен триъгълник, ако съответните страни са заменени във формулата.

Формула за височината на равнобедрен триъгълник чрез страничната страна и ъгъла при основата α: h=a sin⁡α

Формула чрез страничната страна и ъгъла, противоположен на основата β:

Формула чрез основата и ъгъла при нея α:

чрез основата и ъгъла, противоположен на нея β: