Pythagorova věta

Pythagorova věta je základním článkem v euklidovské geometrii, na kterém je založena velká část všech důsledků a dalších vět odvozených z Pythagorovy věty. Byla odvozena v VI století př. n. l., věta vztahuje strany pravého trojúhelníku jednoduchou rovnicí a má mnoho důkazů, z nichž jeden kombinuje jak algebru, tak geometrii.

Podle Pythagorovy věty, v pravém trojúhelníku jsou ramena a a b – to jsou strany přilehlé k pravému úhlu, a součet jejich čtverců dává čtverec přepony – třetí strana trojúhelníku, protilehlá pravému úhlu.

To lze dokázat konstrukcí čtyř pravých trojúhelníků tak, aby dlouhé rameno každého z nich bylo krátkým ramenem následujícího trojúhelníku, s vrcholy úhlů, které se shodují.

Jak je vidět z obrázku, celkový útvar představuje čtverec se stranou c, současně je přeponou těchto trojúhelníků a obsah tohoto útvaru je roven c², podle vzorce pro obsah čtverce. Mimo tento čtverec obsahuje čtyři pravé trojúhelníky s obsahem , uprostřed něj je další malý čtverec. Strana malého čtverce je rovna rozdílu ramen, proto bude jeho obsah roven čtverci tohoto rozdílu. (a-b)²=a²-2ab+b²

Představíme obsah velkého čtverce jako součet obsahů malého čtverce a čtyř trojúhelníků podle principu superpozice.

Tímto způsobem je obsah čtverce současně roven přeponě na druhou a součtu čtverců ramen, což bylo třeba dokázat.a²+b²=c²