Výška rovnoramenného trojúhelníku
Rovnoramenný trojúhelník se nazývá trojúhelník, kde dvě ze tří stran jsou si rovny. Rovné strany jsou považovány za boční strany a, a třetí strana b se nazývá základna rovnoramenného trojúhelníku.
V souladu s tím můžete v takovém trojúhelníku kreslit tři výšky, dvě z nich budou rovny navzájem, podobně jako strany - to jsou výšky spuštěné k boční straně trojúhelníku a, a třetí výška je spuštěna k základně. Výška trojúhelníku je kreslená z úhlu trojúhelníku k protilehlé straně v pravém úhlu. Většina problémů s výškou trojúhelníku je řešena prostřednictvím pravoúhlých trojúhelníků, které tvoří.
Podívejme se na každý případ zvlášť.
Výška rovnoramenného trojúhelníku, spuštěná k základně, má řadu jedinečných vlastností, které jsou pro ni jedinečné a nejsou použitelné na jiné výšky v takovém trojúhelníku. Zejména výška kreslená k základně rovnoramenného trojúhelníku se shoduje s střední čárou a bisektorou, kreslenou k základně, proto nejen tvoří pravý úhel se základnou, ale také ji rozděluje na dvě stejné části, jako střední čára, a podobně rozděluje úhel na polovinu, jako bisektora. Výsledkem je, že výška je jakousi osou symetrie trojúhelníku a dělí jej na dva shodné pravoúhlé trojúhelníky. V takovém trojúhelníku je výška odvěsna, a pro nalezení její délky je nutné vztáhnout strany rovnoramenného trojúhelníku ke stranám pravoúhlého trojúhelníku. Boční strana rovnoramenného trojúhelníku se stává přeponou, a pro určení druhé odvěsny musí být základna rovnoramenného trojúhelníku rozdělena na polovinu, vlastností střední čáry.
Délka výšky rovnoramenného trojúhelníku je rovna podle Pythagorovy věty druhé odmocnině součtu čtverce boční strany rovnoramenného trojúhelníku a čtvrtiny čtverce základny rovnoramenného trojúhelníku:
Druhý případ, kdy podmínky úlohy vyžadují nalézt výšku spuštěnou k boční straně rovnoramenného trojúhelníku, je nejjednodušeji odhalen přes plochu trojúhelníku.
Plochu jakéhokoli trojúhelníku lze nalézt několika způsoby - například pomocí tří stran trojúhelníku pomocí Heronova vzorce, nebo přes výšku, násobením polovinou strany, ke které je spuštěna. Obě metody poskytují stejné hodnoty plochy, takže oba vzorce lze zrovnat a z nich odvodit konečný vzorec pro výšku spuštěnou k boční straně rovnoramenného trojúhelníku.
Heronův vzorec pro rovnoramenný trojúhelník bude mít poněkud zjednodušenou podobu kvůli opakování hodnot bočních stran:
Plocha rovnoramenného trojúhelníku přes výšku spuštěnou k boční straně
Stejný vzorec lze použít k nalezení jakékoli výšky v rovnoramenném trojúhelníku, pokud se ve vzorci vymění odpovídající strany.
Vzorec výšky rovnoramenného trojúhelníku přes boční stranu a úhel u základny α: h=a sinα
Vzorec přes boční stranu a úhel naproti základně β:
Vzorec přes základnu a úhel u ní α:
přes základnu a úhel naproti ní β:
