Ligesiddet trekantshøjde
En ligebenet trekant kaldes en trekant, hvor to af de tre sider er lige store. De lige store sider betragtes som de laterale sider a, og den tredje side b kaldes basen af den ligebenede trekant.
Tilsvarende, i en sådan trekant kan du tegne tre højder, hvoraf to vil være lige store, ligesom siderne - disse er højderne tegnet til trekantens laterale side a, og den tredje højde er tegnet til basen. Højden af trekanten er tegnet fra trekantens vinkel til den modsatte side i en ret vinkel. De fleste problemer med højden af en trekant løses gennem de retvinklede trekanter, den danner.
Lad os overveje hvert tilfælde separat.
Højden af en ligebenet trekant, tegnet til basen, har en række individuelle egenskaber, der er unikke for den og ikke anvendelige for andre højder i en sådan trekant. Især falder højden, der er tegnet til basen af den ligebenede trekant, sammen med medianen og bisektoren, tegnet til basen, derfor danner den ikke kun en ret vinkel med basen, men opdeler også den i to lige store dele, ligesom en median, og opdeler vinkel på samme måde i to, ligesom en bisektor. Som et resultat er højden en slags symmetriakse for trekanten og opdeler den i to kongruente retvinklede trekanter. I en sådan trekant er højden en katete, og for at finde dens længde, er det nødvendigt at relatere siderne af den ligebenede trekant til siderne af den retvinklede trekant. Den laterale side af den ligebenede trekant bliver hypotenusen, og for at bestemme den anden katete, skal basen af den ligebenede trekant deles i to, ved medianens egenskab.
Længden af højden af en ligebenet trekant er lig med Pythagoras' sætning til kvadratroden af summen af kvadratet af den laterale side af den ligebenede trekant og en fjerdedel af kvadratet af basen af den ligebenede trekant:
Det andet tilfælde, når betingelserne i opgaven kræver at finde højden tegnet til den laterale side af den ligebenede trekant, er afsløret mest enkelt gennem trekantens areal.
Arealet af enhver trekant kan findes på flere måder - for eksempel gennem de tre sider af trekanten ved hjælp af Herons formel, eller gennem højden, ved at multiplicere den med halvdelen af siden, som den er tegnet til. Begge metoder giver identiske arealværdier, så begge formler kan ligeværdigt anvendes og derfra udlede den endelige formel for højden tegnet til den laterale side af den ligebenede trekant.
Herons formel for en ligebenet trekant vil have en noget forenklet form på grund af gentagelsen af værdierne for de laterale sider:
Ligebenet Trekant Areal gennem højden tegnet til den laterale side
Den samme formel kan bruges til at finde enhver højde i en ligebenet trekant, hvis de tilsvarende sider byttes i formlen.
Højdeformel for en ligebenet trekant gennem den laterale side og vinklen ved basen α: h=a sinα
Formel gennem den laterale side og vinklen overfor basen β:
Formel gennem basen og vinklen ved den α:
gennem basen og vinklen overfor den β:
