Terme der geometrischen Progression

Glieder einer geometrischen Progression sind Zahlen, die streng nach Ordnungszahlen angeordnet sind, wobei die Ordnungszahl selbst den Wert des Sequenzglieds bestimmt. Das erste Glied einer geometrischen Progression kann jede Zahl außer null sein (b≠0). Um n ein Glied der geometrischen Progression zu finden, muss man das erste Glied mit dem Verhältnis der Progression die erforderliche Anzahl von Malen multiplizieren.

Das Verhältnis der Progression ist eine gegebene Zahl, die während der gesamten Zahlenreihe konstant bleibt. Um das Wesen der Sequenz zu erkennen, betrachten Sie eine Zahlenreihe, in der b_n- dies sind die ersten wenigen Glieder der Progression mit Ordnungszahl n, und q - dies ist das Verhältnis der Progression.
b₁
b₂=b₁ q
b₃=b₂ q=b₁ qq=b₁ q2
b₄=b₃ q=b₁ q² q=b₁ q³
…

Hieraus ist deutlich sichtbar, dass das Verhältnis der geometrischen Progression auf eine Potenz erhoben wird, deren Exponent um eins kleiner ist als die Ordnungszahl des zu findenden Gliedes der Progression, und alle Glieder hängen vom ersten ab. Die allgemeine Formel für Glieder einer geometrischen Progression sieht folgendermaßen aus: b_n=b₁ q^(n-1)

Basierend darauf, dass man das erste Glied der geometrischen Progression kennt, kann man die ersten drei, vier Glieder der Progression finden, indem man mit dem Verhältnis in der erforderlichen Potenz multipliziert. Ein solcher Online-Rechner rechnet umgekehrt, das heißt, wenn man eines der Sequenzglieder kennt, kann man das erste finden. Um eine solche Operation durchzuführen, kehrt der Rechner die Formel um, in der das erste Glied der geometrischen Progression dem Verhältnis des gegebenen Gliedes zum Verhältnis in der Potenz n-1, wobein - dies ist die Ordnungszahl des bekannten Gliedes.

Eine andere Möglichkeit, das erste Glied einer geometrischen Progression zu finden, liegt in der Definition der Summe der ersten wenigen Glieder der Progression. Die Summe selbst ist gleich dem Produkt des ersten Gliedes der Progression und der Differenz zwischen dem Verhältnis, das auf die Potenz der Ordnungszahl des letzten teilnehmenden Gliedes erhoben wird, und eins, dann muss das erhaltene Ergebnis durch eine weitere Differenz des Verhältnisses dividiert werden, diesmal ohne Potenz, und eins:

Die Reihenfolge des Minuenden und Subtrahenden in den Klammern kann sich ändern, dies wird das Ergebnis nicht beeinflussen, solange es synchron geschieht:

Dann, wenn die Parameter in der Formel neu verteilt werden, ergibt sich, dass das erste Glied der Progression gleich dem Produkt der Summe mit der Differenz von eins und dem Verhältnis, geteilt durch die Differenz von eins und dem Verhältnis in der Potenz n, ist: