Höhe des gleichschenkligen Dreiecks
Ein gleichschenkliges Dreieck wird ein Dreieck genannt, bei dem zwei der drei Seiten gleich sind. Die gleichen Seiten werden als Seiten a betrachtet, und die dritte Seite b wird Basis des gleichschenkligen Dreiecks genannt.
Entsprechend können Sie in einem solchen Dreieck drei Höhen zeichnen, von denen zwei gleich lang sind, ähnlich wie bei den Seiten - dies sind die Höhen, die auf die Seiten des Dreiecks a fallen, und die dritte Höhe fällt auf die Basis. Die Höhe des Dreiecks wird vom Winkel des Dreiecks zur gegenüberliegenden Seite rechtwinklig gezogen. Die meisten Probleme mit der Höhe eines Dreiecks werden durch die rechtwinkligen Dreiecke gelöst, die es bildet.
Betrachten wir jeden Fall separat.
Die Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks, die auf die Basis fällt, hat eine Reihe individueller Eigenschaften, die einzigartig für sie sind und nicht auf andere Höhen in einem solchen Dreieck anwendbar sind. Insbesondere fällt die Höhe, die auf die Basis des gleichschenkligen Dreiecks gezeichnet wird, mit der Median und Bisektor, die auf die Basis gezeichnet wird, daher bildet sie nicht nur einen rechten Winkel mit der Basis, sondern teilt sie auch in zwei gleiche Teile, wie eine Median, und teilt den Winkel ähnlich in zwei Hälften, wie ein Bisektor. Als Ergebnis ist die Höhe eine Art Symmetrieachse des Dreiecks und teilt es in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. In einem solchen Dreieck ist die Höhe eine Kathete, und um ihre Länge zu finden, ist es notwendig, die Seiten des gleichschenkligen Dreiecks mit den Seiten des rechtwinkligen Dreiecks zu vergleichen. Die Seite des gleichschenkligen Dreiecks wird die Hypotenuse, und um die zweite Kathete zu bestimmen, muss die Basis des gleichschenkligen Dreiecks in der Mitte geteilt werden, nach der Eigenschaft der Median.
Die Länge der Höhe eines gleichschenkligen Dreiecks entspricht nach der Pythagoreischen Theorem der Quadratwurzel aus der Summe des Quadrats der Seite des gleichschenkligen Dreiecks und einem Viertel des Quadrats der Basis des gleichschenkligen Dreiecks:
Der zweite Fall, wenn die Bedingungen des Problems erfordern, die Höhe zu finden, die auf die Seite des gleichschenkligen Dreiecks fällt, wird am einfachsten durch die Fläche des Dreiecks aufgedeckt.
Die Fläche eines beliebigen Dreiecks kann auf verschiedene Arten gefunden werden - zum Beispiel durch die drei Seiten des Dreiecks mit der Heron's Formel, oder durch die Höhe, indem sie mit der Hälfte der Seite multipliziert wird, auf die sie fällt. Beide Methoden liefern identische Flächenwerte, sodass beide Formeln gleichgesetzt werden können, und daraus die endgültige Formel für die Höhe, die auf die Seite des gleichschenkligen Dreiecks fällt, abgeleitet werden kann.
Heron's Formel für ein gleichschenkliges Dreieck wird eine etwas vereinfachte Form haben, aufgrund der Wiederholung der Werte der Seiten:
Gleichschenklige Dreiecksfläche durch die Höhe, die auf die Seite fällt
Die gleiche Formel kann verwendet werden, um jede Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck zu finden, wenn die entsprechenden Seiten in der Formel ausgetauscht werden.
Höhenformel eines gleichschenkligen Dreiecks durch die Seite und den Winkel an der Basis α: h=a sinα
Formel durch die Seite und den gegenüberliegenden Winkel der Basis β:
Formel durch die Basis und den Winkel an ihr α:
durch die Basis und den gegenüberliegenden Winkel β:
