Ύψος Ισοσκελούς Τριγώνου
Ένα ισοσκελές τρίγωνο είναι ένα τρίγωνο όπου δύο από τις τρεις πλευρές είναι ίσες μεταξύ τους. Οι ίσες πλευρές θεωρούνται οι πλευρικές πλευρές α, και η τρίτη πλευρά β ονομάζεται βάση του ισοσκελούς τριγώνου.
Συνεπώς, σε ένα τέτοιο τρίγωνο, μπορείτε να σχεδιάσετε τρία ύψη, δύο από τα οποία θα είναι ίσα, παρόμοια με τις πλευρές - αυτά είναι τα ύψη που πέφτουν στη πλευρά του τριγώνου α, και το τρίτο ύψος πέφτει στη βάση. Το ύψος του τριγώνου σχεδιάζεται από τη γωνία του τριγώνου προς την αντίθετη πλευρά σε ορθογώνια γωνία. Τα περισσότερα προβλήματα με το ύψος ενός τριγώνου λύνονται μέσω των ορθογώνιων τριγώνων που σχηματίζει.
Ας εξετάσουμε κάθε περίπτωση ξεχωριστά.
Το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου, που πέφτει στη βάση, έχει μια σειρά από ατομικές ιδιότητες μοναδικές για αυτό και μη εφαρμόσιμες σε άλλα ύψη σε ένα τέτοιο τρίγωνο. Ειδικότερα, το ύψος που πέφτει στη βάση του ισοσκελούς τριγώνου συμπίπτει με τη διάμεσο και διχοτόμο, που πέφτει στη βάση, επομένως, δεν σχηματίζει μόνο ορθογώνια γωνία με τη βάση αλλά και τη διαιρεί σε δύο ίσα μέρη, όπως η διάμεσος, και ομοίως διαιρεί τη γωνία στη μέση, όπως η διχοτόμος. Ως αποτέλεσμα, το ύψος είναι ένας άξονας συμμετρίας του τριγώνου και το διαιρεί σε δύο συγγενή ορθογώνια τρίγωνα. Σε ένα τέτοιο τρίγωνο, το ύψος είναι μια κάθετη πλευρά, και για να βρείτε το μήκος της, είναι απαραίτητο να σχετίσετε τις πλευρές του ισοσκελούς τριγώνου με τις πλευρές του ορθογώνιου τριγώνου. Η πλευρική πλευρά του ισοσκελούς τριγώνου γίνεται η υποτείνουσα, και για να προσδιορίσετε τη δεύτερη κάθετη πλευρά, η βάση του ισοσκελούς τριγώνου πρέπει να διαιρεθεί στη μέση, από την ιδιότητα της διαμέσου.
Το μήκος του ύψους του ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσο κατά τον πυθαγόρειο θεώρημα με τη ρίζα τετραγώνου του αθροίσματος του τετραγώνου της πλευρικής πλευράς του ισοσκελούς τριγώνου και του τετάρτου του τετραγώνου της βάσης του ισοσκελούς τριγώνου:
Η δεύτερη περίπτωση, όταν οι συνθήκες του προβλήματος απαιτούν να βρούμε το ύψος που πέφτει στη πλευρά του ισοσκελούς τριγώνου, αποκαλύπτεται πιο απλά μέσω του εμβαδού του τριγώνου.
Το εμβαδόν οποιουδήποτε τριγώνου μπορεί να βρεθεί με διάφορους τρόπους - για παράδειγμα, μέσω των τριών πλευρών του τριγώνου χρησιμοποιώντας τον τύπο του Ήρωνα, ή μέσω του ύψους, πολλαπλασιάζοντάς το με το μισό της πλευράς στην οποία πέφτει. Και οι δύο μέθοδοι αποδίδουν πανομοιότυπες τιμές εμβαδού, επομένως οι δύο τύποι μπορούν να εξισωθούν και από εκεί να παραχθεί ο τελικός τύπος για το ύψος που πέφτει στη πλευρά του ισοσκελούς τριγώνου.
Ο τύπος του Ήρωνα για ένα ισοσκελές τρίγωνο θα έχει μια κάπως απλοποιημένη μορφή λόγω της επανάληψης των τιμών των πλευρικών πλευρών:
Εμβαδό Ισοσκελούς Τριγώνου μέσω του ύψους που πέφτει στη πλευρά
Ο ίδιος τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να βρεθεί οποιοδήποτε ύψος σε ένα ισοσκελές τρίγωνο αν οι αντίστοιχες πλευρές αντικατασταθούν στον τύπο.
Τύπος ύψους ενός ισοσκελούς τριγώνου μέσω της πλευρικής πλευράς και της γωνίας στη βάση α: h=a sinα
Τύπος μέσω της πλευρικής πλευράς και της γωνίας απέναντι από τη βάση β:
Τύπος μέσω της βάσης και της γωνίας σε αυτήν α:
μέσω της βάσης και της γωνίας απέναντι από αυτήν β:
