Hauteur du triangle isocèle
Un triangle isocèle est appelé un triangle où deux des trois côtés sont égaux entre eux. Les côtés égaux sont considérés comme les côtés latéraux a, et le troisième côté b est appelé la base du triangle isocèle.
En conséquence, dans un tel triangle, vous pouvez tracer trois hauteurs, dont deux seront égales entre elles, similaires aux côtés - ce sont les hauteurs tombées sur le côté latéral du triangle a, et la troisième hauteur est tombée sur la base. La hauteur du triangle est tracée de l'angle du triangle vers le côté opposé à un angle droit. La plupart des problèmes avec la hauteur d'un triangle sont résolus à travers les triangles rectangles qu'elle forme.
Examinons chaque cas séparément.
La hauteur d'un triangle isocèle, tombée sur la base, possède un certain nombre de propriétés individuelles qui lui sont propres et non applicables aux autres hauteurs dans un tel triangle. En particulier, la hauteur tracée sur la base du triangle isocèle coïncide avec la médiane et bissectrice, tracée sur la base, donc elle forme non seulement un angle droit avec la base mais la divise également en deux parties égales, comme une médiane, et divise de la même manière l'angle en deux, comme une bissectrice. En conséquence, la hauteur est une sorte d'axe de symétrie du triangle et le divise en deux triangles rectangles congruents. Dans un tel triangle, la hauteur est un côté, et pour trouver sa longueur, il est nécessaire de relier les côtés du triangle isocèle aux côtés du triangle rectangle. Le côté latéral du triangle isocèle devient l'hypoténuse, et pour déterminer le deuxième côté, la base du triangle isocèle doit être divisée en deux, par la propriété de la médiane.
La longueur de la hauteur d'un triangle isocèle est égale selon le théorème de Pythagore à la racine carrée de la somme du carré du côté latéral du triangle isocèle et du quart du carré de la base du triangle isocèle :
Le deuxième cas, lorsque les conditions du problème nécessitent de trouver la hauteur tombée sur le côté latéral du triangle isocèle, est révélé le plus simplement à travers l'aire du triangle.
L'aire de tout triangle peut être trouvée de plusieurs manières - par exemple, à travers les trois côtés du triangle en utilisant la formule de Héron, ou à travers la hauteur, en la multipliant par la moitié du côté sur lequel elle est tombée. Les deux méthodes donnent des valeurs d'aire identiques, les deux formules peuvent donc être mises en équation et de là dériver la formule finale pour la hauteur tombée sur le côté latéral du triangle isocèle.
La formule de Héron pour un triangle isocèle aura une forme quelque peu simplifiée en raison de la répétition des valeurs des côtés latéraux :
Surface du Triangle Isocèle à travers la hauteur tombée sur le côté latéral
La même formule peut être utilisée pour trouver n'importe quelle hauteur dans un triangle isocèle si les côtés correspondants sont échangés dans la formule.
Formule de la hauteur d'un triangle isocèle à travers le côté latéral et l'angle à la base α: h=a sinα
Formule à travers le côté latéral et l'angle opposé à la base β:
Formule à travers la base et l'angle à celle-ci α:
à travers la base et l'angle opposé β:
