Lygiašonio trikampio aukštis

Lygiašonis trikampis vadinamas trikampiu, kuriame dvi iš trijų kraštinių yra lygios viena kitai. Lygios kraštinės laikomos šoninėmis kraštinėmis a, o trečioji kraštinė b vadinama lygiašonio trikampio pagrindu.

Atitinkamai, tokiame trikampyje galite nubrėžti tris aukštines, dvi iš kurių bus lygios viena kitai, panašiai kaip kraštinės - tai yra aukštinės, nuleistos į trikampio a šoną, ir trečioji aukštinė yra nuleista į pagrindą. Trikampio aukštinė yra nubrėžta iš trikampio kampo į priešingą kraštinę statmenai. Dauguma problemų su trikampio aukštine yra išspręstos per stačiuosius trikampius, kuriuos ji sudaro.

Aptarkime kiekvieną atvejį atskirai.

Lygiašonio trikampio aukštinė, nuleista į pagrindą, turi daugybę individualių savybių, kurios nėra taikomos kitoms aukštinėms tokiame trikampyje. Konkrečiai, aukštinė, nubrėžta į lygiašonio trikampio pagrindą, sutampa su mediana ir bisektrine, nubrėžta į pagrindą, todėl ji ne tik sudaro stačią kampą su pagrindu, bet ir padalija jį į dvi lygias dalis, kaip mediana, ir panašiai padalija kampą perpus, kaip bisektrinė. Dėl to aukštinė yra savotiška trikampio simetrijos ašis ir padalija jį į du kongruentinius stačiuosius trikampius. Tokiame trikampyje aukštinė yra katetas, o norint rasti jos ilgį, būtina susieti lygiašonio trikampio kraštines su stačiakampio trikampio kraštinėmis. Lygiašonio trikampio šoninė kraštinė tampa įžambine, o norint nustatyti antrąjį katetą, lygiašonio trikampio pagrindą reikia padalinti perpus, pagal medianos savybę.

Lygiašonio trikampio aukštinės ilgis yra lygus Pitogoro teorema kvadrato šaknies iš šoninės lygiašonio trikampio kraštinės kvadrato ir ketvirtadalio lygiašonio trikampio pagrindo kvadrato sumos:

Antrasis atvejis, kai problemos sąlygos reikalauja rasti aukštinę, nuleistą į lygiašonio trikampio šoninę kraštinę, yra paprasčiausiai atskleidžiamas per trikampio plotą.

Bet kokio trikampio plotą galima rasti keliais būdais - pavyzdžiui, per tris trikampio kraštines naudojant Herono formulę, arba per aukštinę, dauginant ją iš pusės kraštinės, į kurią ji nuleista. Abu metodai duoda vienodas ploto vertes, todėl abu formulės gali būti sulyginamos ir iš jų išvesti galutinę formulę aukštinei, nuleistai į lygiašonio trikampio šoninę kraštinę.

Herono formulė lygiašoniam trikampiui bus šiek tiek supaprastinta dėl šoninių kraštinių vertybių pasikartojimo:

Lygiašonio trikampio plotas per aukštinę, nuleistą į šoninę kraštinę

Tą pačią formulę galima naudoti rasti bet kurią lygiašonio trikampio aukštinę, jeigu atitinkamos kraštinės formulėje yra sukeistos.

Lygiašonio trikampio aukštinės formulė per šoninę kraštinę ir kampą prie pagrindo α: h=a sin⁡α

Formulė per šoninę kraštinę ir kampą prieš pagrindą β:

Formulė per pagrindą ir kampą prie jo α:

per pagrindą ir kampą prieš jį β: