Wysokość Trójkąta Równoramiennego

Trójkąt równoramienny to trójkąt, w którym dwa z trzech boków są równe sobie. Równe boki są uważane za boki boczne a, a trzeci bok b jest nazywany podstawą trójkąta równoramiennego.

Odpowiednio, w takim trójkącie można narysować trzy wysokości, z których dwie będą równe sobie, podobnie jak boki - są to wysokości opuszczone do boku bocznego trójkąta a, a trzecia wysokość jest opuszczona do podstawy. Wysokość trójkąta jest poprowadzona od kąta trójkąta do przeciwległego boku pod kątem prostym. Większość problemów z wysokością trójkąta rozwiązywana jest poprzez trójkąty prostokątne, które tworzy.

Rozważmy każdy przypadek osobno.

Wysokość trójkąta równoramiennego, opuszczona do podstawy, ma szereg indywidualnych właściwości, które są dla niej wyjątkowe i nie mają zastosowania do innych wysokości w takim trójkącie. W szczególności, wysokość poprowadzona do podstawy trójkąta równoramiennego pokrywa się z środkową i dwusieczną, poprowadzoną do podstawy, dlatego nie tylko tworzy kąt prosty z podstawą, ale również dzieli ją na dwie równe części, jak środkowa, i podobnie dzieli kąt na pół, jak dwusieczna. W rezultacie wysokość jest pewnego rodzaju osią symetrii trójkąta i dzieli go na dwa przystające trójkąty prostokątne. W takim trójkącie wysokość jest przyprostokątną, a aby znaleźć jej długość, należy odnosić boki trójkąta równoramiennego do boków trójkąta prostokątnego. Bok boczny trójkąta równoramiennego staje się przeciwprostokątną, a aby określić drugą przyprostokątną, podstawę trójkąta równoramiennego trzeba podzielić na pół, zgodnie z właściwością środkowej.

Długość wysokości trójkąta równoramiennego jest równa zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratu boku bocznego trójkąta równoramiennego i jednej czwartej kwadratu podstawy trójkąta równoramiennego:

Drugi przypadek, kiedy warunki zadania wymagają znalezienia wysokości opuszczonej do boku bocznego trójkąta równoramiennego, jest najprościej rozwiązany poprzez pole trójkąta.

Pole dowolnego trójkąta można znaleźć na kilka sposobów - na przykład poprzez trzy boki trójkąta, używając wzoru Herona, lub poprzez wysokość, mnożąc ją przez połowę boku, do którego jest opuszczona. Obie metody dają identyczne wartości pola, więc obie formuły można zrównać, a stąd wyprowadzić ostateczną formułę na wysokość opuszczoną do boku bocznego trójkąta równoramiennego.

Wzór Herona dla trójkąta równoramiennego będzie miał nieco uproszczoną formę z powodu powtarzania się wartości boków bocznych:

Pole Trójkąta Równoramiennego przez wysokość opuszczoną do boku bocznego

Tę samą formułę można użyć do znalezienia dowolnej wysokości w trójkącie równoramiennym, jeśli odpowiednie boki zostaną zamienione w formule.

Wzór na wysokość trójkąta równoramiennego przez bok boczny i kąt przy podstawie α: h=a sin⁡α

Wzór przez bok boczny i kąt naprzeciw podstawy β:

Wzór przez podstawę i kąt przy niej α:

przez podstawę i kąt naprzeciw niej β: