Altura do Triângulo Isósceles
Um triângulo isósceles é chamado um triângulo onde dois dos três lados são iguais entre si. Os lados iguais são considerados os lados laterais a, e o terceiro lado b é chamado a base do triângulo isósceles.
Consequentemente, num tal triângulo, pode traçar três alturas, duas das quais serão iguais entre si, semelhantes aos lados - estas são as alturas descidas para o lado lateral do triângulo a, e a terceira altura é descida para a base. A altura do triângulo é traçada do ângulo do triângulo para o lado oposto num ângulo recto. A maioria dos problemas com a altura de um triângulo são resolvidos através dos triângulos rectângulos que forma.
Vamos considerar cada caso separadamente.
A altura de um triângulo isósceles, descida para a base, tem uma série de propriedades individuais únicas para ela e não aplicáveis a outras alturas em tal triângulo. Em particular, a altura traçada para a base do triângulo isósceles coincide com a mediana e bissetriz, traçada para a base, portanto, não só forma um ângulo recto com a base, como também a divide em duas partes iguais, como uma mediana, e similarmente divide o ângulo ao meio, como uma bissetriz. Como resultado, a altura é uma espécie de eixo de simetria do triângulo e divide-o em dois triângulos rectângulos congruentes. Num tal triângulo, a altura é um cateto, e para encontrar o seu comprimento, é necessário relacionar os lados do triângulo isósceles aos lados do triângulo rectângulo. O lado lateral do triângulo isósceles torna-se a hipotenusa, e para determinar o segundo cateto, a base do triângulo isósceles deve ser dividida ao meio, pela propriedade da mediana.
O comprimento da altura de um triângulo isósceles é igual pela teorema de Pitágoras à raiz quadrada da soma do quadrado do lado lateral do triângulo isósceles e um quarto do quadrado da base do triângulo isósceles:
O segundo caso, quando as condições do problema requerem encontrar a altura descida para o lado lateral do triângulo isósceles, é revelado mais simplesmente através da área do triângulo.
A área de qualquer triângulo pode ser encontrada de várias maneiras - por exemplo, através dos três lados do triângulo usando a fórmula de Herão, ou através da altura, multiplicando-a por metade do lado ao qual é descida. Ambos os métodos fornecem valores de área idênticos, por isso ambas as fórmulas podem ser igualadas e daí derivar a fórmula final para a altura descida para o lado lateral do triângulo isósceles.
A fórmula de Herão para um triângulo isósceles terá uma forma algo simplificada devido à repetição dos valores dos lados laterais:
Área do Triângulo Isósceles através da altura descida para o lado lateral
A mesma fórmula pode ser usada para encontrar qualquer altura num triângulo isósceles se os lados correspondentes forem trocados na fórmula.
Fórmula da altura de um triângulo isósceles através do lado lateral e ângulo na base α: h=a sinα
Fórmula através do lado lateral e ângulo oposto à base β:
Fórmula através da base e ângulo nela α:
através da base e ângulo oposto a ela β:
