Înălțimea triunghiului isoscel
Un triunghi isoscel se numește triunghi în care două dintre cele trei laturi sunt egale între ele. Laturile egale sunt considerate laturile laterale a, iar a treia latură b este numită baza triunghiului isoscel.
În consecință, într-un astfel de triunghi, puteți trasa trei înălțimi, două dintre ele fiind egale între ele, similare cu laturile - acestea sunt înălțimile trasate la latura laterală a triunghiului a, iar a treia înălțime este trasată la bază. Înălțimea triunghiului este trasată din unghiul triunghiului către latura opusă sub un unghi drept. Majoritatea problemelor cu înălțimea unui triunghi sunt rezolvate prin triunghiurile dreptunghice pe care le formează.
Să analizăm fiecare caz separat.
Înălțimea unui triunghi isoscel, trasată la bază, are o serie de proprietăți individuale unice pentru ea și neaplicabile altor înălțimi într-un astfel de triunghi. În special, înălțimea trasată la baza triunghiului isoscel coincide cu mediana și bisectoarea, trasate la bază, astfel încât nu numai că formează un unghi drept cu baza, dar o și împarte în două părți egale, ca o mediană, și împarte, de asemenea, unghiul în jumătate, ca o bisectoare. Ca rezultat, înălțimea este un fel de axă de simetrie a triunghiului și îl împarte în două triunghiuri dreptunghice congruente. Într-un astfel de triunghi, înălțimea este o catetă, iar pentru a găsi lungimea sa, este necesar să se relaționeze laturile triunghiului isoscel cu laturile triunghiului dreptunghic. Latura laterală a triunghiului isoscel devine ipotenuza, iar pentru a determina a doua catetă, baza triunghiului isoscel trebuie împărțită în jumătate, prin proprietatea medianei.
Lungimea înălțimii unui triunghi isoscel este egală prin teorema lui Pitagora cu rădăcina pătrată a sumei pătratului laturii laterale a triunghiului isoscel și un sfert din pătratul bazei triunghiului isoscel:
Al doilea caz, când condițiile problemei cer găsirea înălțimii trasate la latura laterală a triunghiului isoscel, este dezvăluit cel mai simplu prin aria triunghiului.
Aria oricărui triunghi poate fi găsită în mai multe moduri - de exemplu, prin cele trei laturi ale triunghiului folosind formula lui Heron, sau prin înălțime, înmulțind-o cu jumătate din latura pe care este trasată. Ambele metode dau valori identice ale ariei, deci ambele formule pot fi egalate și de acolo se derivă formula finală pentru înălțimea trasată la latura laterală a triunghiului isoscel.
Formula lui Heron pentru un triunghi isoscel va avea o formă oarecum simplificată datorită repetării valorilor laturilor laterale:
Aria triunghiului isoscel prin înălțimea trasată la latura laterală
Aceeași formulă poate fi folosită pentru a găsi orice înălțime într-un triunghi isoscel dacă laturile corespunzătoare sunt înlocuite în formulă.
Formula înălțimii unui triunghi isoscel prin latura laterală și unghiul la bază α: h=a sinα
Formula prin latura laterală și unghiul opus bazei β:
Formula prin baza și unghiul la aceasta α:
prin baza și unghiul opus ei β:
