Výška rovnoramenného trojuholníka
Rovnoramenný trojuholník sa nazýva trojuholník, kde dve z troch strán sú rovnaké. Rovnaké strany sa považujú za bočné strany a a tretia strana b sa nazýva základňa rovnoramenného trojuholníka.
Podľa toho v takomto trojuholníku môžete nakresliť tri výšky, dve z ktorých budú rovnaké, podobne ako strany - to sú výšky spustené na bočnú stranu trojuholníka a, a tretia výška je spustená na základňu. Výška trojuholníka je nakreslená z uhla trojuholníka na opačnú stranu v pravom uhle. Väčšina problémov s výškou trojuholníka sa rieši cez pravouhlé trojuholníky, ktoré vytvára.
Pozrime sa na každý prípad samostatne.
Výška rovnoramenného trojuholníka, spustená na základňu, má niekoľko vlastných vlastností, ktoré sú pre ňu jedinečné a nie sú použiteľné na iné výšky v takomto trojuholníku. Konkrétne, výška nakreslená na základňu rovnoramenného trojuholníka sa zhoduje s strednou čiarou a bisektorou, nakreslenou na základňu, preto nielenže tvorí pravý uhol so základňou, ale aj ju rozdeľuje na dve rovnaké časti, ako stredná čiara, a podobne rozdeľuje uhol na polovicu, ako bisektora. Výsledkom je, že výška je akýmsi osou symetrie trojuholníka a delí ho na dva kongruentné pravouhlé trojuholníky. V takomto trojuholníku je výška odvesna, a na nájdenie jej dĺžky je potrebné vzťahovať strany rovnoramenného trojuholníka k stranám pravouhlého trojuholníka. Bočná strana rovnoramenného trojuholníka sa stáva preponou, a na určenie druhej odvesny je potrebné základňu rovnoramenného trojuholníka rozdeliť na polovicu, podľa vlastnosti strednej čiary.
Dĺžka výšky rovnoramenného trojuholníka je rovná podľa Pytagorovej vety odmocnine súčtu štvorca bočnej strany rovnoramenného trojuholníka a štvrtiny štvorca základne rovnoramenného trojuholníka:
Druhý prípad, keď podmienky úlohy vyžadujú nájsť výšku spustenú na bočnú stranu rovnoramenného trojuholníka, je najjednoduchšie odhalený cez plochu trojuholníka.
Plocha akéhokoľvek trojuholníka sa dá nájsť niekoľkými spôsobmi - napríklad cez tri strany trojuholníka pomocou Heronovho vzorca, alebo cez výšku, vynásobením polovicou strany, na ktorú je spustená. Obe metódy poskytujú rovnaké hodnoty pre plochu, takže oba vzorce možno rovnať a odtiaľ odvodiť konečný vzorec pre výšku spustenú na bočnú stranu rovnoramenného trojuholníka.
Heronov vzorec pre rovnoramenný trojuholník bude mať trochu zjednodušenú formu kvôli opakovaniu hodnôt bočných strán:
Plocha rovnoramenného trojuholníka cez výšku spustenú na bočnú stranu
Ten istý vzorec sa dá použiť na nájdenie akejkoľvek výšky v rovnoramennom trojuholníku, ak sú zodpovedajúce strany vymenené vo vzorci.
Vzorec pre výšku rovnoramenného trojuholníka cez bočnú stranu a uhol na základni α: h=a sinα
Vzorec cez bočnú stranu a uhol oproti základni β:
Vzorec cez základňu a uhol na nej α:
cez základňu a uhol oproti nej β:
