ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นเรื่องพื้นฐานในเรขาคณิตยุคลิด ซึ่งเป็นพื้นฐานสำหรับผลลัพธ์และทฤษฎีบทอื่น ๆ ที่ได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส มันถูกค้นพบใน VI ศตวรรษก่อนคริสตกาล ทฤษฎีบทนี้เชื่อมโยงด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากด้วยสมการง่าย ๆ และมีการพิสูจน์หลายอย่าง หนึ่งในนั้นรวมทั้งพีชคณิตและเรขาคณิต

ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ในสามเหลี่ยมมุมฉาก มีขา a และ b – เหล่านี้เป็นด้านที่ติดกับมุมฉาก และผลรวมของสี่เหลี่ยมของพวกมันให้สี่เหลี่ยมของด้านตรงข้าม – ด้านที่สามของสามเหลี่ยม ตรงข้ามกับมุมฉาก

สิ่งนี้สามารถพิสูจน์ได้โดยการสร้างสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูป โดยแต่ละรูปมีด้านยาวเป็นด้านสั้นของสามเหลี่ยมถัดไป โดยมีจุดยอดของมุมที่ตรงกัน

จากภาพวาดจะเห็นได้ว่ารูปโดยรวมเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน c, ในขณะเดียวกันก็เป็นด้านตรงข้ามของสามเหลี่ยมเหล่านี้ และพื้นที่ของรูปร่างนี้เท่ากับ c², ตามสูตรสำหรับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัส นอกจากสี่เหลี่ยมนี้แล้วยังมีสามเหลี่ยมมุมฉากสี่รูปที่มีพื้นที่ , ในศูนย์กลางของมันมีสี่เหลี่ยมเล็กอีกหนึ่งรูป ด้านของสี่เหลี่ยมเล็กเท่ากับความแตกต่างของขา ดังนั้นพื้นที่ของมันจะเท่ากับสี่เหลี่ยมของความแตกต่างนี้ (a-b)²=a²-2ab+b²

เรามาแสดงพื้นที่ของสี่เหลี่ยมใหญ่เป็นผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมเล็กและสี่เหลี่ยมสามเหลี่ยมตามหลักการของการซ้อนทับกัน

ดังนั้น พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสจึงเท่ากับสี่เหลี่ยมของด้านตรงข้ามและผลรวมของสี่เหลี่ยมของขา ซึ่งต้องพิสูจน์ a²+b²=c²