Висота рівнобедреного трикутника
Рівнобедреним трикутником називається трикутник, у якого дві з трьох сторін рівні між собою. Рівні сторони вважаються бічними сторонами a, а третя сторона b називається основою рівнобедреного трикутника.
Відповідно, у такому трикутнику можна провести три висоти, дві з яких будуть рівні одна одній, подібно до сторін - це висоти, опущені на бічну сторону трикутника a, а третя висота опущена на основу. Висота трикутника проводиться з кута трикутника на протилежну сторону під прямим кутом. Більшість задач з висотою трикутника вирішуються через прямокутні трикутники, які вона утворює.
Розгляньмо кожен випадок окремо.
Висота рівнобедреного трикутника, опущена на основу, має ряд індивідуальних властивостей, які не застосовуються до інших висот у такому трикутнику. Зокрема, висота, проведена на основу рівнобедреного трикутника, збігається з медіаною і бісектрисою, проведеною на основу, тому вона не лише утворює прямий кут з основою, але й ділить її на дві рівні частини, подібно до медіани, і аналогічно ділить кут навпіл, як бісектриса. У результаті висота є своєрідною віссю симетрії трикутника і ділить його на два конгруентні прямокутні трикутники. У такому трикутнику висота є катетом, і для знаходження її довжини необхідно співвіднести сторони рівнобедреного трикутника зі сторонами прямокутного трикутника. Бічна сторона рівнобедреного трикутника стає гіпотенузою, а щоб визначити другий катет, основу рівнобедреного трикутника потрібно поділити навпіл, за властивості медіани.
Довжина висоти рівнобедреного трикутника дорівнює за теоремою Піфагора квадратному кореню з суми квадрата бічної сторони рівнобедреного трикутника і чверті квадрата основи рівнобедреного трикутника:
Другий випадок, коли умови задачі вимагають знайти висоту, опущену на бічну сторону рівнобедреного трикутника, розкривається найпростішим чином через площу трикутника.
Площу будь-якого трикутника можна знайти кількома способами - наприклад, через три сторони трикутника, використовуючи формулу Герона, або через висоту, множачи її на половину сторони, на яку вона опущена. Обидва методи дають ідентичні значення площі, тому обидві формули можна прирівняти і з цього вивести кінцеву формулу для висоти, опущеної на бічну сторону рівнобедреного трикутника.
Формула Герона для рівнобедреного трикутника матиме дещо спрощену форму завдяки повторенню значень бічних сторін:
Площа рівнобедреного трикутника через висоту, опущену на бічну сторону
Ту ж формулу можна використовувати для знаходження будь-якої висоти в рівнобедреному трикутнику, якщо відповідні сторони замінити у формулі.
Формула висоти рівнобедреного трикутника через бічну сторону і кут при основі α: h=a sinα
Формула через бічну сторону і кут, протилежний основі β:
Формула через основу і кут при ній α:
через основу і кут, протилежний їй β:
