Γεωμετρική πρόοδος
Η γεωμετρική πρόοδος είναι μια αριθμητική ακολουθία στην οποία όλοι οι όροι της είναι διατεταγμένοι σε μια σειρά που ακολουθεί ένα συγκεκριμένο μοτίβο. Ο τύπος της γεωμετρικής προόδου καθορίζει ότι κάθε επόμενος αριθμός θα προκύπτει με πολλαπλασιασμό του προηγούμενου με τον παρονομαστή της προόδου - ένας σταθερός αριθμός που δεν αλλάζει την τιμή του εντός μιας ακολουθίας. bn=b1 q(n-1)
Ανάλογα με τον παρονομαστή της προόδου, οι αναφερόμενοι όροι της γεωμετρικής προόδου μπορούν να δώσουν διαφορετικού τύπου σειρά. Αν ο παρονομαστής είναι θετικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 (k > 1), τότε θα αυξάνει την τιμή κάθε επόμενου αριθμού. Μια τέτοια πρόοδος θα αυξάνεται μονοτονικά σε όλη τη σειρά. Αν ο παρονομαστής είναι θετικός αλλά μεταξύ 0 και 1 (0 < k < 1), τότε θα μειώνει την τιμή κάθε επόμενου όρου κάθε φορά, και μια τέτοια πρόοδος θα ονομάζεται άπειρα μειούμενη γεωμετρική πρόοδος.
Αν για μια όλη αυξανόμενη ακολουθία, είναι δυνατόν να βρεθεί μόνο το άθροισμα των πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου, τότε το άθροισμα των όρων μιας άπειρα μειούμενης προόδου θα είναι ίσο με μια συγκεκριμένη αριθμητική τιμή που μπορεί να υπολογίσει ο υπολογιστής. Η τρίτη περίπτωση αντιπροσωπεύεται από αρνητικό παρονομαστή (k < 0), τότε η πρόοδος γίνεται εναλλασσόμενη, δηλαδή οι πρώτοι όροι της γεωμετρικής προόδου καθορίζουν τη σειρά των σημείων για ολόκληρη την ακολουθία αριθμών. Τόσο ο παρονομαστής της γεωμετρικής προόδου όσο και ο πρώτος όρος της γεωμετρικής προόδου κατά τον ορισμό δεν μπορούν να είναι ίσοι με μηδέν.
Υπάρχουν μόνο λίγοι τύποι για τη γεωμετρική πρόοδο, από τους οποίους μπορούν να εξαχθούν όλες οι απαραίτητες λύσεις για συγκεκριμένα προβλήματα:
• Τύπος του πρώτου όρου της γεωμετρικής προόδου;
• Τύπος nτου όρου της γεωμετρικής προόδου;
• Τύπος του αθροίσματος των πρώτων όρων της γεωμετρικής προόδου;
• Τύπος του αθροίσματος μιας άπειρα μειούμενης γεωμετρικής προόδου;
• Τύπος του παρονομαστή της γεωμετρικής προόδου.
Έτσι, αν μια γεωμετρική πρόοδος καθορίζεται από τουλάχιστον δύο παραμέτρους από όλες τις παρουσιαζόμενες παραπάνω, είναι δυνατόν να βρεθεί οποιαδήποτε από όλες τις άλλες μεταβλητές για αυτήν.