Άθροισμα αριθμητικής προόδου
Όταν αναφέρεται ένα παράμετρος όπως το άθροισμα αριθμητικής προόδου, πάντα υπονοεί το άθροισμα των πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου ή το άθροισμα των όρων της προόδου από k έως n, δηλαδή, ο αριθμός των όρων που λαμβάνονται για το άθροισμα είναι αυστηρά περιορισμένος εντός των συνθηκών που ορίζονται. Διαφορετικά, το πρόβλημα δεν θα έχει λύση, καθώς η όλη αριθμητική ακολουθία της αριθμητικής προόδου αρχίζει με έναν συγκεκριμένο αριθμό - τον πρώτο όρο a1, και συνεχίζεται απεριόριστα.
Πιστεύεται ότι ο τύπος για το άθροισμα αριθμητικής προόδου ανακαλύφθηκε από τον Γκάους ως έναν γρήγορο και ακριβή τρόπο για τον υπολογισμό του αθροίσματος αριθμών σε μια συγκεκριμένη ακολουθία. Παρατήρησε ότι μια τέτοια πρόοδος είναι συμμετρική, δηλαδή το άθροισμα των συμμετρικά διατεταγμένων όρων από την αρχή και το τέλος της προόδου είναι σταθερό για τη δεδομένη σειρά.
Κατά συνέπεια, βρήκε αυτό το άθροισμα και το πολλαπλασίασε με το μισό του συνολικού αριθμού των αριθμών στην ακολουθία που συμμετέχουν στην υπολογισμό του αθροίσματος. Έτσι, προέκυψε ο τύπος για το άθροισμα αριθμητικής προόδου
Παράδειγμα. Υποθέστε ότι δίνεται η συνθήκη: "Βρείτε το άθροισμα των πρώτων δέκα (10) όρων της αριθμητικής προόδου". Για αυτό, χρειάζονται τα εξής δεδομένα: η διαφορά της προόδου και ο πρώτος όρος της. Αν το πρόβλημα παρέχει οποιονδήποτε n όρο της αριθμητικής προόδου αντί για τον πρώτο, τότε πρώτα πρέπει να χρησιμοποιήσετε το τμήμα όπου παρουσιάζεται ο τύπος για την εύρεση του πρώτου όρου της προόδου, και να τον βρείτε. Στη συνέχεια, τα αρχικά δεδομένα εισάγονται στον υπολογιστή, και εκτελεί υπολογισμούς προσθέτοντας τον πρώτο και τον δέκατο όρο και πολλαπλασιάζοντας το προκύπτον άθροισμα με το μισό του συνολικού αριθμού των προστιθέμενων όρων – κατά 5. Ομοίως, αν χρειάζεται να βρείτε το άθροισμα των πρώτων έξι όρων ή οποιασδήποτε άλλης ποσότητας.
Σε περίπτωση που είναι απαραίτητο να βρεθεί το άθροισμα των όρων της αριθμητικής προόδου που αρχίζει όχι με τον πρώτο, αλλά με τον πέμπτο όρο, για παράδειγμα, τότε η αριθμητική μέση τιμή παραμένει η ίδια, και ο συνολικός αριθμός των όρων λαμβάνεται ως η αυξημένη κατά ένα διαφορά μεταξύ των αριθμών κατατάξεως των ληφθέντων όρων.
