Όροι γεωμετρικής προόδου
Όροι μιας γεωμετρικής προόδου είναι αριθμοί που διατάσσονται αυστηρά κατά σειρά, όπου ο αριθμός της σειράς καθορίζει την αξία του όρου της ακολουθίας. Ο πρώτος όρος μιας γεωμετρικής προόδου μπορεί να είναι οποιοσδήποτε αριθμός εκτός από το μηδέν (b≠0). Για να βρείτε n έναν όρο της γεωμετρικής προόδου, είναι απαραίτητο να πολλαπλασιάσετε τον πρώτο όρο με το λόγο της προόδου τον απαιτούμενο αριθμό φορών.
Ο λόγος της προόδου είναι ένας δεδομένος αριθμός, ο οποίος παραμένει σταθερός καθ' όλη τη διάρκεια της αριθμητικής σειράς. Για να δείτε την ουσία της ακολουθίας, θεωρήστε μια αριθμητική σειρά όπου bn- αυτοί είναι οι πρώτοι όροι της προόδου με αριθμό σειράς n, και q - αυτός είναι ο λόγος της προόδου.
b1
b2=b1 q
b3=b2 q=b1 qq=b1 q2
b4=b3 q=b1 q2 q=b1 q3
…
Από εδώ φαίνεται ξεκάθαρα ότι ο λόγος της γεωμετρικής προόδου υψώνεται σε δύναμη, όπου ο εκθέτης είναι ένα λιγότερο από τον αριθμό σειράς του όρου της προόδου που πρέπει να βρεθεί, και όλοι οι όροι εξαρτώνται από τον πρώτο. Η γενική φόρμουλα για τους όρους μιας γεωμετρικής προόδου θα μοιάζει με αυτό: bn=b1 q(n-1)
Με βάση αυτό, γνωρίζοντας τον πρώτο όρο της γεωμετρικής προόδου, μπορείτε να βρείτε τους πρώτους τρεις, τέσσερις όρους της προόδου πολλαπλασιάζοντας με το λόγο στην απαιτούμενη δύναμη. Μια τέτοια διαδικτυακή αριθμομηχανή υπολογίζει αντίστροφα, δηλαδή, γνωρίζοντας οποιονδήποτε από τους όρους της ακολουθίας, μπορείτε να βρείτε τον πρώτο. Για να πραγματοποιήσετε μια τέτοια λειτουργία, η αριθμομηχανή αντιστρέφει τη φόρμουλα, στην οποία ο πρώτος όρος της γεωμετρικής προόδου θα είναι ίσος με το λόγο του δεδομένου όρου προς το λόγο υψωμένο σε δύναμη n-1, όπου n - αυτός είναι ο αριθμός σειράς του γνωστού όρου.
Ένας άλλος τρόπος για να βρείτε τον πρώτο όρο μιας γεωμετρικής προόδου είναι να ορίσετε το άθροισμα των πρώτων όρων της προόδου. Το ίδιο το άθροισμα είναι ίσο με το γινόμενο του πρώτου όρου της προόδου και της διαφοράς μεταξύ του λόγου υψωμένου σε δύναμη του αριθμού σειράς του τελευταίου συμμετέχοντα όρου και ενός, τότε το αποτέλεσμα που αποκτήθηκε πρέπει να διαιρεθεί με άλλη διαφορά του λόγου, αυτή τη φορά χωρίς δύναμη, και ένα:
Η σειρά του μειωτέου και του αφαιρετέου στις αγκύλες μπορεί να αλλάξει, αυτό δεν θα επηρεάσει το αποτέλεσμα αρκεί να συμβαίνει συγχρονισμένα:
Στη συνέχεια, όταν γίνεται αναδιανομή των παραμέτρων στη φόρμουλα, προκύπτει ότι ο πρώτος όρος της προόδου είναι ίσος με το γινόμενο του αθροίσματος με τη διαφορά του ενός και του λόγου, διαιρεμένο με τη διαφορά του ενός και του λόγου στη δύναμη του n:
