Wyrazy progresji geometrycznej
Wyrazy ciągu geometrycznego to liczby ułożone ściśle według numerów porządkowych, gdzie numer porządkowy determinuje wartość wyrazu ciągu. Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego może być dowolną liczbą oprócz zera (b≠0). Aby znaleźć n wyraz ciągu geometrycznego, trzeba pomnożyć pierwszy wyraz przez iloraz ciągu wymaganą liczbę razy.
Iloraz ciągu to dana liczba, która pozostaje stała w całej serii liczbowej. Aby zobaczyć istotę ciągu, rozważmy serię liczbową, gdzie bn- to są pierwsze kilka wyrazów ciągu o numerze porządkowym n, a q - to jest iloraz ciągu.
b1
b2=b1 q
b3=b2 q=b1 qq=b1 q2
b4=b3 q=b1 q2 q=b1 q3
…
Stąd wyraźnie widać, że iloraz ciągu geometrycznego jest podniesiony do potęgi, której wykładnik jest o jeden mniejszy niż numer porządkowy wyrazu ciągu, który trzeba znaleźć, a wszystkie wyrazy zależą od pierwszego. Ogólny wzór na wyrazy ciągu geometrycznego będzie wyglądał tak: bn=b1 q(n-1)
Na tej podstawie, znając pierwszy wyraz ciągu geometrycznego, można znaleźć pierwsze trzy, cztery wyrazy ciągu, mnożąc przez iloraz do wymaganej potęgi. Taki kalkulator online oblicza w odwrotny sposób, to znaczy, znając dowolny z wyrazów ciągu, można znaleźć pierwszy. Do wykonania takiej operacji kalkulator odwraca wzór, w którym pierwszy wyraz ciągu geometrycznego będzie równy ilorazowi danego wyrazu do ilorazu podniesionego do potęgi n-1, gdzie n - to jest numer porządkowy znanego wyrazu.
Innym sposobem na znalezienie pierwszego wyrazu ciągu geometrycznego jest definicja sumy pierwszych kilku wyrazów ciągu. Sama suma jest równa iloczynowi pierwszego wyrazu ciągu i różnicy między ilorazem podniesionym do potęgi numeru porządkowego ostatniego uczestniczącego wyrazu a jeden, następnie uzyskany wynik trzeba podzielić przez inną różnicę ilorazu, tym razem bez potęgi, i jeden:
Kolejność odjemnika i odjemnika w nawiasach może się zmienić, nie wpłynie to na wynik, o ile dzieje się to synchronicznie:
Następnie, przy redystrybucji parametrów we wzorze okazuje się, że pierwszy wyraz ciągu jest równy iloczynowi sumy z różnicą jednego i ilorazu, podzielonemu przez różnicę jednego i ilorazu do potęgi n:
