Διαγώνιοι Παραλληλογράμμου

Ένα παραλληλόγραμμο είναι ένα τετράπλευρο του οποίου οι αντίθετες πλευρές είναι παράλληλες και ίσες εκ φύσεως. Συνεπώς, οι αντίθετες γωνίες του παραλληλογράμμου θα είναι επίσης ίσες μεταξύ τους, και επειδή το άθροισμα όλων των γωνιών σε ένα τετράπλευρο είναι 360 μοίρες, μπορεί να συμπεραστεί ότι το άθροισμα δύο συνεχόμενων γωνιών θα είναι 180 μοίρες. Αυτή η ιδιότητα θα παίξει σημαντικό ρόλο στην εύρεση των διαγώνιων του παραλληλογράμμου, λαμβάνοντας υπόψη ότι είναι διαφορετικού μήκους.

Δεδομένου ότι κάθε διαγώνιος ενός παραλληλογράμμου το διαιρεί σε δύο ίσα τρίγωνα, οι ιδιότητές τους θα χρησιμοποιηθούν για να προκύψει ο τύπος για τη διαγώνιο ενός παραλληλογράμμου.

Σε οποιοδήποτε τρίγωνο, η γωνία και η πλευρά απέναντι σε αυτή είναι ανάλογες μεταξύ τους. Για ένα παραλληλόγραμμο, αυτό σημαίνει ότι η μεγαλύτερη διαγώνιος θα βρίσκεται απέναντι από την αμβλεία γωνία, και η μικρότερη διαγώνιος - απέναντι από την οξεία γωνία. Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι πλευρές των τριγώνων που σχηματίζονται από τις διαγώνιες είναι οι ίδιες - αυτές είναι οι πλευρές του παραλληλογράμμου, το μέτρο της γωνίας μεταξύ αυτών των πλευρών καθορίζει το μήκος της διαγώνιου, υπολογιζόμενο από τον τύπο. Με άλλα λόγια, αν η τιμή της οξείας γωνίας του παραλληλογράμμου υποκατασταθεί στον τύπο για τη διαγώνιο, ο υπολογιστής θα υπολογίσει το μήκος της μικρής διαγώνιου, και αν η τιμή της αμβλείας γωνίας υποκατασταθεί - της μεγάλης.

Για να μεταβείτε από τη μία γωνία στην άλλη, η διαφορά των 180 μοιρών και της δεδομένης γωνίας χρησιμοποιείται, έτσι ώστε ο υπολογιστής να μπορεί να υπολογίσει ταυτόχρονα και τις δύο διαγώνιες.

α=180°-β

Για να προκύψει ο τύπος για τη διαγώνιο ενός παραλληλογράμμου, χρησιμοποιείται το θεώρημα του συνημιτόνου στο τρίγωνο που σχηματίζεται από τη διαγώνιο με τις πλευρές. Σε οποιοδήποτε από αυτά τα τρίγωνα, η διαγώνιος είναι η πλευρά απέναντι από τη γωνία του παραλληλογράμμου, και αντίστοιχα, το τετράγωνό της ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών του τριγώνου (του παραλληλογράμμου, σε αυτήν την περίπτωση) μείον το διπλάσιο του γινομένου των ίδιων πλευρών με το συνημίτονο της δεδομένης γωνίας. Για να βρείτε το μήκος της διαγώνιου του παραλληλογράμμου, ο υπολογιστής υπολογίζει την τετραγωνική ρίζα αυτής της έκφρασης.