Diagonalele Paralelogramului
Un paralelogram este un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele și egale prin definiție. În consecință, unghiurile opuse ale paralelogramului vor fi, de asemenea, egale între ele, și din moment ce suma tuturor unghiurilor într-un patrulater este de 360 de grade, se poate concluziona că suma a două unghiuri consecutive va fi de 180 de grade. Această proprietate va juca un rol semnificativ în găsirea diagonalelor paralelogramului, având în vedere că acestea au lungimi diferite.
Deoarece fiecare diagonală a unui paralelogram îl împarte în două triunghiuri egale, proprietățile lor vor fi utilizate pentru a deriva formula pentru diagonala unui paralelogram.
În orice triunghi, unghiul și partea opusă acestuia sunt proporționale între ele. Pentru un paralelogram, aceasta înseamnă că diagonala mai lungă va fi opusă unghiului obtuz, iar diagonala mai scurtă - opusă unghiului ascuțit. Având în vedere că laturile triunghiurilor formate de diagonale sunt aceleași - acestea sunt laturile paralelogramului, măsura unghiului dintre aceste laturi determină lungimea diagonalei, calculată prin formula. Cu alte cuvinte, dacă valoarea unghiului ascuțit al paralelogramului este înlocuită în formula pentru diagonală, calculatorul va calcula lungimea diagonalei scurte, iar dacă valoarea unghiului obtuz este înlocuită - pe cea lungă.
Pentru a trece de la un unghi la altul, se folosește diferența de 180 de grade și unghiul dat, astfel încât calculatorul poate calcula simultan ambele diagonale.
α=180°-β
Pentru a deriva formula pentru diagonala unui paralelogram, se folosește teorema cosinusului în triunghiul format de diagonală cu laturile. În oricare dintre astfel de triunghiuri, diagonala este latura opusă unghiului paralelogramului și, în consecință, pătratul său este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi ale triunghiului (paralelogramului, în acest caz) minus de două ori produsul acelorași laturi cu cosinusul unghiului dat. Pentru a găsi lungimea diagonalei paralelogramului, calculatorul calculează rădăcina pătrată a acestei expresii.
